A sinistra quadro di
Richard Mauri.
 
On the left
Richard Mauri Painting
.
 
 
 
   
 

“ Teoria e pratica per la valutazione delle frequenze di risonanza dei piani armonici dei violini”
Autore: Vincenzo De Angelis

Laureato in ingegneria meccanica presso il Politecnico di Torino nel 1970 ha iniziato a prendere interesse alla liuteria nel 1975   realizzando violini soprattutto per sperimentazione e con particolare riguardo al trattamento di verniciatura con prodotti naturali.

Si inizia la presente nota riportando il disegno sovrastante  affinché sia chiaro quali sono le parti fondamentali di un violino con il relativo nome e posizione di massima in modo che non sorgano dubbi sulle denominazioni usate.
  Il lavoro che si va ad illustrare ha preso spunto da un articolo apparso su “le Scienze” del 12/1981 ritenuto particolarmente interessante per le sperimentazioni e le conclusioni descrittevi.

Introduzione

Questo articolo non vuole essere una ripetizione di quanto tante altre volte detto relativamente al “mistero degli antichi violini cremonesi” bensì vuole semplicemente riportare una indagine, per quanto possibile scientifica, su come prevedere la frequenza ed il modo di vibrare dei piani armonici dei violini  partendo dalla forma  e spessore degli stessi, dalle caratteristiche del legno ecc.   L’analisi non è completa ma il riscontro positivo fra la teoria e la realtà può essere di sprone a chi ne avesse l’interesse, ad approfondire la stessa e portarla a compimento.

Premessa

Prima di esporre le considerazioni teoriche ed i dettagli della sperimentazione, è necessaria una premessa per meglio comprendere sia la logica con cui è stato sviluppato lo studio e sia i risultati ottenuti.  I costruttori di violini, me compreso, si sono sempre trovati di fronte al dilemma di come ed a quali frequenze proprie debbano vibrare i piani armonici -  prima che gli stessi vengano incollati sulle relative fasce -  affinchè lo strumento risulti poi sufficientemente valido dal punto di vista della qualità del suono (timbro, equilibrio fra i tono alti e bassi, rapidità di risposta, intensità del suono ecc.).

Per capire ciò ogni liutaio probabilmente avrà un suo metodo che riterrà sicuramente il migliore e che terrà nascosto.  In sostanza - da notizie di studiosi del passato ed attuali - i sistemi impiegati si riconducono a valutare, tramite l’udito, la nota emessa dai piani armonici - ancora in fase di costruzione - quando vengono leggermente battuti od eccitati con opportuni apparecchi. In aggiunta valutano anche la rigidità degli stessi in diverse direzioni, flettendoli o torcendoli con le mani - oppure con idonei apparecchi - per capire dove assottigliare le tavole di abete od acero, affinchè emettano la nota voluta, che andranno a costituire i piani armonici.

I sistemi citati, anche se concettualmente corretti, lasciano nell’incertezza - colui che sta scolpendo i piani armonici - sul dove e soprattutto sul quanto legno togliere per raggiungere una prefissata frequenza di risonanza che a volte risulta anche essa non chiaramente definita come valore assoluto; il compito diventa ancora più arduo quando si vogliano rispettare due o tre frequenze predefinite.

Un aiuto scientifico a questo dilemma può essere considerato lo studio apparso su “Le Scienze” (12/1981) il quale conferma sostanzialmente quanto notato da altri studiosi del passato (in particolare Savart) ovvero che fra la frequenza propria delle tavole armoniche superiori ed inferiori deve esserci una differenza di un tono o di un semitono  e pari a 33  o 16,5 Hz. (per le frequenze proprie normalmente riscontrate  270-330 Hz).
Oltre a questa conferma l’Autrice del citato articolo evidenzia che i piani armonici degli strumenti facenti parte della famiglia dei violini (viola, violoncello, contrabbasso oltre ovviamente al violino) hanno tutti una medesima tipologia di figure di risonanza che possono evidenziarsi con il metodo di Chladnj ben noto agli studiosi del settore sia perché è di antica data (quasi 2 secoli) ma soprattutto per la sua semplicità di esecuzione e per l’immediatezza nell’evidenziare come vibrano le tavole armoniche concentrando nelle zone  che non prendono parte alla vibrazione (nodi) un materiale in forma di polvere non troppo fine.

Vedi ad esempio le foto N° 1 e 2 che si riferiscono al piano inferiore ed al piano armonico superiore di un mio violino, con le tavole incollate alle fasce, dalle quali si vede chiaramente la forma ed il numero delle aree principali di risonanza alla frequenza di 1.418 Hz. per il fondo e di 548 Hz per il piano armonico superiore.

Foto N° 1 – Figure di risonanza a 1418 Hz
Foto N° 2 – Figure di risonanza a 548 Hz

Otre al citato metodo possono impiegarsi anche le più recenti tecniche interferometriche.

Fra le figure di risonanza più significative (vedi Fig.1)   l’Autrice pone (in ordine crescente di frequenza a cui si evidenziano) la prima  (F1), la seconda (F2) e la quinta (F5);

Fig. 1

Quanto schematizzato con la Fig. 1 lo si  è reso visibile per un caso reale relativo al fondo di un mio violino e che riporto per evidenziare anche come le irregolarità delle figure indicano una discontinuità nelle caratteristiche del materiale o ad una errata impostazione degli spessori.

Foto N° 3

Foto N° 4

Foto N° 5

Nel caso della Foto N° 4 l’eccessiva larghezza della zona scura centrale indica un eccessivo assottigliamento del piano armonico (irrecuperabile) mentre nel caso della Foto N° 5 nella parte alta del piano armonico si evidenzia un errato degradare dello spessore dal valore massimo al minimo oltre alla presenza di discontinuità locali di spessore dove la curva si presenta ondulata.
Nella parte bassa dello stesso piano l’asimmetria della  curva evidenzia una diversità di spessore o di caratteristiche del legno fra parte destra e sinistra.

La qualità  del suono di un violino, conclude l’Autrice a seguito di numerose esperienze, dipende in sintesi dalle frequenze a cui si hanno le citate figure di risonanza nei piani armonici dei violini prima di essere incollati alle fasce e nel rapporto fra tali frequenze.
Questo metodo di valutazione ha delle buone basi scientifiche così come le conclusioni a cui
perviene l’Autrice le quali però, a mio avviso, sono valide se le restanti parti del violino risultano essere uguali fra uno strumento e l’altro e  ben definite.  Infatti non si può negare che le caratteristiche sonore di un violino saranno conseguenza della frequenza, forma e posizione delle figure di risonanza dello strumento completo e queste ultime sono legate certamente a quelle dei piani armonici ancora da incollare alle fasce, ma anche da una nutrita serie di variabili alcune delle quali notoriamente molto influenti; ne elenco alcune:
 -  rigidità e altezza delle fasce su cui andranno ad incollarsi i piani armonici,
 - forma del violino  - bombatura dei piani armonici  -  posizione dell’anima
 - dimensione (in particolare l’altezza), peso e posizione del ponticello
 - tipologia del pretrattamento di verniciatura
 - tipologia delle corde 

Alcune di queste variabili sono modificabili a violino ultimato e quindi aggiustabili a piacimento mentre alcune non lo sono; queste ultime quindi alterano, in modo irreversibile, il legame fra le frequenze delle figure di risonanza dei piani armonici, ancora da incollare, alle frequenze, dimensione e posizione delle figure di risonanza dello strumento completo.  Pertanto, a mio parere, la possibilità di riuscire a definire le qualità sonore di un violino, solamente dalle frequenze a cui si presentano le figure F1-F2 e F5, può sussistere a condizione che tutte le altre variabili siano costanti.

Naturalmente non è da escludere che la non corretta o poco propizia situazione delle frequenze relative alle figure F1, F2 e F5 possa essere compensata entro certi limiti dall’adattamento di qualche altra variabile; si dice “entro certi limiti” perchè nulla potrà compensare un grosso errore d’impostazione degli spessori, della bombatura e forma delle tavole tali da portare a forti squilibri dei rapporti fra le frequenze sopra citate.

In definitiva quindi,  prendendo per valide le conclusioni del citato articolo  riportato su le Scienze del 12/1981, ( ovvero che è possibile avere violini di buona qualità rispettando alcune condizioni per le frequenze delle figure F1  - F2 ed  F5 ) mi sono riproposto di ricavare delle relazioni basate sulla scienza delle costruzioni che colleghino le caratteristiche del legno, la forma  e gli spessori delle tavole, con le frequenze delle figure F1-F2 e F5 in modo da realizzare un modello di calcolo che funzioni come guida nella realizzazione delle tavole armoniche.

Descrizione del modello

Passerò ora ad illustrare come si è impostato lo studio ricordando che una figura di risonanza indica in maniera chiara le zone che vibrano e quelle invece che non lo fanno chiamate nodi e che vengono evidenziate dal metodo di Chladnj od analoghi più sofisticati.
Il lavoro fatto, in definitiva, è rivolto a quantificare - con l’aiuto di modelli matematici appositamente realizzati - la frequenza propria di vibrazione delle diverse aree vibranti del piano armonico partendo dalla forma, spessori  e  caratteristiche del legno costituente lo stesso.
In letteratura non si trovano formule specifiche per violini e quindi si è dovuti partire dalle formule elementari che opportunamente elaborate hanno permesso di ottenere risultati convalidati dall’esperienza diretta o indiretta.

Equazioni di base

Per comprendere meglio l’esposizione   si rammenta che la frequenza propria di vibrazione di una striscia di materiale elastico soggetto alla propria massa è data dalle relazioni seguenti:

* per quanto riguarda le vibrazioni a flessione
di una striscia incastrata ad un estremo e libera all’altro estremo si ha;

 

* per quanto riguarda le vibrazioni flessionali di una striscia appoggiata agli estremi si ha;

 

* per quanto riguarda le vibrazioni torsionali di una striscia incastrata ad un estremo e libera all’altro estremo si ha;

 

Formule simili si hanno anche per diversi altri tipi di appoggi od incastri.
                   I simboli hanno il seguente significato:
p  = 3,1416     g = peso specifico del materiale
g = accelerazione di gravità     S = spessore della striscia 
h = larghezza della striscia    L = lunghezza della striscia
E = modulo elastico a flessione del materiale
G = modulo elastico a torsione del materiale
f = frequenza  propria di  vibrazione
b = fattore di forma

Da quanto sopra si vede che per valutare la frequenza è necessario conoscere, oltre alle  dimensioni della striscia, il peso specifico ed il modulo elastico del materiale ( nel nostro caso abete ed acero ).

Valutazione delle caratteristiche del legno

Il primo passo è stato pertanto quello di valutare su pezzi di  legno di diversa provenienza - alcuni dei quali serviti poi a realizzare i piani armonici - le citate caratteristiche sia in longitudinale che in trasversale - dove necessario - (per la metodologia vedi Appendice I).

La tabella n° 1 seguente riporta i dati ottenuti

 

Abete

Acero

 

Longit.

Trasv.

Longit.

Trasv.

Peso specifico gr/cm^3

0,36-0,50 mediam. 0,44

0,57-0,65  mediam. 0,61

Modulo elastico a flessione gr/mm^2

1,1-1,68x10^6
Med. 1,4x10^6

0,45-1,45x10^5
Med. 1,2x10^5

0,7-1,6.10^6
Med. 1,15.10^6

1,6-2,2.10^5
Med. 1,9.10^5

Modulo elastico a torsione  gr/mm^2

0,8-1,58x10^5
Med. 1,2x10^5

 

1,55-2,15.10^5
Med. 1,85.10^5

 

Dato gli ampi intervalli entro cui possono variare il peso specifico ed il modulo elastico, appare evidente l’influenza del legno sulle frequenze proprie di vibrazione.  E’ indispensabile pertanto, al fine di avere una rispondenza fra teoria e realtà che il peso specifico, il modulo elastico a flessione e torsione siano  valutati sulla tavola da cui si ricaveranno i piani armonici superiore ed inferiore.

Definizione della forma.

Individuate le caratteristiche dei legni che normalmente si impiegano, resta  da vedere come potere applicare le formule precedentemente indicate al piano armonico di un violino dove lo spessore  è variabile e la forma non è certo paragonabile ad una striscia piana di larghezza e spessore costanti.

Per fare ciò si è iniziato con il ricavare una o più equazioni rappresentative sia  della linea che individua il profilo esterno del violino e sia delle linee che individuano punti di uguale spessore che chiameremo “curve di equispessore”.  In tali equazioni sono stati introdotti alcuni parametri variabili (entro certi limiti) a piacimento in modo che le linee dalle stesse rappresentate possano dare sia alla sagoma esterna del violino che alle curve di equispessore, la forma desiderata e/o che più si avvicina a quelle riscontrate nella realtà e  rilevate da violini del passato.

Vedi a titolo di esempio la Tav.  III (Diagramma N° 4) e Tav. VI (Diagramma N° 12)  dove sono rapresentate le linee disegnate con le citate equazioni impiegando due diversi gruppi di parametri per rappresentare sia due diverse forme di violino e due diverse posizioni delle curve di equispessore.
Violino del Diagr. N° 4 –   Lunghezza 356 – Larghezza 166-106-204   mm
Violino  del Diagr. N° 12 -       “         350 -      “          158-102-190   mm
                      
Fra la curva di minimo spessore ed il punto in cui si ha il massimo spessore, quest’ultimo può farsi variare in modo lineare o meno a seconda delle  esigenze costruttive e tali da conferire alla tavola armonica i requisiti desiderati.
A titolo di esempio si riportano tre  situazioni, una con variazione lineare dello spessore Tav. II (Diagramma N° 1), una con gradiente degli spessori esaltato verso il bordo Tav. V (Diagramma N° 9) ed una con gradiente degli spessori esaltato verso il centro Tav. IV (Diagramma N° 8). 
Ho preso in considerazione linee di equispessore “classiche” ovvero quelle che sono state rilevate su violini  Stradivari così come riportato in letteratura. Nulla vieta però di modificare il modello per adattarlo a curve di equispessore di tipologia diversa.

Oltre alle predette equazioni che descrivono la sagoma e le curve di equispessore dei piani armonici, è stata messa in formula anche la linea che rappresenta la curvatura degli stessi sia in senso longitudinale che in trasversale. Ciò permette di avere in forma grafica sia le sezioni longitudinali che trasversali e le curve di livello.  Anche in questo caso è possibile variare a piacimento alcuni parametri per avere diverse bombature.

La Tav.  I     illustra le curve di livello (per mezza tavola) e la mezza sezione longitudinale centrale  per due diverse situazioni che danno idea della bombatura dei piani armonici.
La situazione A si riferisce ad un violino poco bombato ( Stradivari) mentre la situazione B si riferisce ad un violino sensibilmente più bombato  ( Amati) e con  un gradiende della bombatura accentuato verso il bordo.

In definitiva tale lavoro preliminare è servito a suddividere idealmente i piani armonici del violino in tanti pezzetti aventi lati di 1 x 1 mm (tale valore è comunque variabile a piacimento in funzione della precisione richiesta ai calcoli) e spessore noto; ciascuno elemento risulta individuato, in uno spazio tridimensionale, dalla propria ascissa, ordinata e freccia, intesa come distanza dell’intradosso della tavola dal piano di riferimento, che individua quindi la bombatura.( Fig.5 )

Per realizzare quanto sopra ci si è avvalsi di un software - appositamente studiato

e realizzato dallo scrivente - che permette di creare e memorizzare una matrice che contiene le quattro grandezze ( ascissa, ordinata, freccia e spessore  ) che individuano i circa  67.000  elementi (da 1 x 1 mm ) del trapezio che circoscrive il piano armonico di un violino.( Fig.6)

Casella di testo:

Valutazione frequenza  della prima figura  di risonanza  - F1 -

La matrice sopra indicata, inserita in un secondo software per personal computer - sempre appositamento studiato e realizzato dallo scrivente -, ha permesso di valutare la frequenza di risonanza dei tre modi fondamentali in precedenza citati.   (Pag. 3-4 )

Il primo modo di vibrazione  ( F1 ) consiste
in oscillazioni torsionali, intorno all’asse longitudinale ( LL ), sia della parte superiore che inferiore del piano armonico ed in opposizione di fase.
  Per il calcolo le due parti (superiore ed inferiore ) vengono considerate come incastrate lungo la linea nodale trasversale (NN).

La risonanza e quindi l’evidenziarsi della figura corrispondente al modo F1 (Vedi Foto N°6 fatta
su di un piano armonico di un mio violino) si ha quando la frequenza delle oscillazioni torsionali proprie della parte superiore coincide con quella della parte inferiore (nel caso della foto  ciò avviene a 113 Hz).

Casella di testo:

A questo punto si tratta di valutare, (vedi Appendice II ) con l’ausilio del software citato – ipotizzando ed impostando certi spessori e forme - la frequenza propria delle due parti del piano armonico. In pratica però la posizione della linea nodale NN non è nota a priori ma è il risultato delle impostazioni fatte.  Pertanto è necessario procedere per tentativi cambiando l’impostazione della posizione della linea nodale, sino a rendere uguali le frequenze della parte superiore ed inferiore.

   
Ottenuta l’uguaglianza il valore della frequenza potrebbe però non essere quello voluto e quindi, dopo avere modificato le impostazioni degli spessori o la forma e posizione delle linee di equispessore, si ripete il ciclo sino a raggiungere il valore di frequenza desiderato; si viene cosi ad avere un disegno che farà da guida alla costruzione dei piani

armonici  essendo ben individuate le linee di equispessore con il relativo valore di spessore da dare alle tavole.
A titolo di esempio riporto la sperimentazione  relativa al piano inferiore per il quale volevo ottenere 92,5 Hz (1/4 di 370 Hz  valore che corrispondeva alla frequenza della figura F5 così come consigliato dall’Autrice del citato articolo); il programma ha evidenziato il disegno riportato in Tav. VI (Diagramma N° 13)  che riportato fedelmente sulla tavola in acero, ha permesso di raggiungere il risultato desiderato al primo tentativo.
Ho riportato questo esempio poiché mi permette di  segnalare - come riscontrato anche da altri costruttori - che raggiungere frequenze di risonanza della F1 così basse per il fondo può avvenire ma a scapito di ridurre eccessivamente gli spessori che risultano poi non essere validi per le frequenze delle figure F2 o F5.  Questo fatto invece è di più facile soluzione nel piano armonico superiore come vedremo successivamente.

Nella Tab.  N°  2   si riportano i risultati di alcuni calcoli effettuati per la tavola inferiore in acero sia con diverse situazioni di forma  e posizione delle linee di equispessore, sia con diversi spessori e caratteristiche del legno.

Tabella N° 2

 

Disegno di riferimento

Pos.
linea nodale mm   *

Frequenza di ri-sonanza Hz

Peso tavola
gr

note.   Per  la quntificazione delle variazioni indicate e gli altri dettagli dimensionali e di forma vedere il disegno corrispondente

1

Tav. II Diagram. 1

195

115,8

104,6

 γ = 0,61  G =1,85*10^5  S2 = 2,5  S6 = 5    **

2

Tav. II     “          2

195

103,5

97,5

Come 1 con spessori ridotti   S2 = 2,3   S6 = 4,5

3

Tav. III    “          3

195

128,4

111,7

Come 1 con spessori magg.   S2 = 2,7  S6 = 5,5 

4

Tav. III    “          4

195

119,1

107,7

Come 1 con linea minimo spessore al bordo   **

5

Tav. III   “          5

195

110,8

102,2

Come 1 con linea minimo spessore verso centro

6

Tav. II Diagram. 1

195

112,7

104,6

Come 1 con γ = 0,61 e G = 1,75*10^5

7

Tav. II Diagram. 1

195

119,0

104,6

Come 1 con  γ = 0,61 e G = 1,95*10^5

8

Tav. II Diagram. 1

195

117,8

101,2

Come 1 con  γ = 0,59 e G = 1,85*10^5

9

Tav. II Diagram. 1

195

114,0

108,1

Come 1 con  γ = 0,63 e G = 1,85*10^5         **

10

Tav. II Diagram. 1

195

121,0

101,2

Come 1 con   γ = 0,59 e G = 1,95*10^5

11

Tav. II Diagram. 1

195

110,8

108,1

Come 1 con  γ = 0,63 e G = 1,75*10^5

12

Tav. IV   “          6

205

116,7

104,7

Come 1 con P3 a 180 mm invece che 196 mm  ***

13

Tav. IV   “          7

187

114,4

104,6

Come 1 con P3 a 210 mm invece che 196 mm

14

Tav. IV   “          8

194

110,4

101,0

Come 1 con linee equispess. accentrate al centro

15

Tav. V   “         9

196

121,8

109,2

Come 1 con linee equispess. accentrate al bordo  **

16

Tav. V   “        10

199

115,7

104,0

Come 1 con diversa posizione linea di minimo spessore fra parte larga e stretta della tavola

17

Tav. V   “        11

186

112,1

104,5

Come 1 con diverso gradiente degli spessori  fra parte larga e stretta della tavola

18

Tav. VI    “        12

189

127,4

95,3

Dimensioni tavola ridotte

19

Tav. VI    “        13

195

92,3

93,5

 γ = 0,62  G =1,85*10^5  S2 = 1,8  S6 = 4,4    **

20

Tav. I Situaz. A e B

196

116,2

105,9

Come 1 ma con maggiore bombatura  ****

21

---------

195

130,6

109,2

Come 1 con spessori  magg.  S2 = 2,5  S6 =5,7

22

---------

196

121,3

117,8

Come 1 con spessori  magg.  S2 = 3,2  S6 =5,0

23

---------

195

125,8

113,5

Come 1 con spessori  magg.   S2 = 2,85  S6 =5,35

24

---------

196

117,3

108,4

Come 1 con spessori  magg.  S2 = 2,7  S6 =5,0

25

---------

196

101,1

100,0

Come 1 con spessori  ridotti.  S2 = 2,5  S6 =4,3

26

---------

195

114,1

100,8

Come 1 con spessori  ridotti.  S2 = 2,3  S6 =5,0

 

 

 

 

 

 

 γ = peso specifico in gr/cm^3        G = modulo elastico in gr/mm^2 
S2 = spessore in mm sulla linea di minimo spessore    S6 = spessore in mm sul punto (P3) di massimo spessore
Per i richiami  *   vedi pag. seguente

* le distanze sono date sull’asse longitu-
dinale  della tavola come da  schema a lato.
** tale piani sono stati  realizzati con il medesimo legno sul quale si sono rilevate le caratteristiche di peso specifico  e modulo elastico. Ciò per   verificare la rispondenza del modello alla realtà.
I risultati ottenuti, come   detto  nella introduzione, sono stati positivi. 
***  con  “punto P3” si indica la  posizione del punto  di massimo spessore  sempre sull’asse  longitudinale   della tavola.
****  con  “punto 3b” si indica la posizione del punto    di massima   bombatura della tavola.

Casella di testo:

  Analizzando i dati della tabella emergono alcune considerazioni importanti per guidare il liutaio; alcune scontate altre meno. Comunque anche per i risultati scontati il modello matematico permette di quantificare l’effetto delle variazioni e /o modifiche  rendendo così  meno aleatorio il risultato delle stesse.

Si riportano le considerazioni citate:
-- analizzando i dati delle righe da 6 a 11 emerge la necessità di avere del legname con caratteristiche più costanti possibili al fine evitare di dovere rivedere gli spessori ogni qualvolta si cambi  lo stesso. Il modello comunque ci permette di dire che se il peso specifico, a parità di modulo elastico,  per esempio,   passa da 0,63 a 0,59 gr/cm3  per avere la medesima frequenza di risonanza F1 è necessario ridurre lo spessore medio della tavola da 0,1 a 0,2 mm (vedere osservazione successive). Così pure, se a pari peso specifico il modulo elastico passa da 1,95 a 1,75 *10^5 gr/mmq, per avere la medesima frequenza occorre un aumento di spessore da 0,15 a 0,3 mm (vedere osservazioni successive).
-- alcune modifiche influenzano esclusivamente o prevalentemente la frequenza di risonanza ed altre invece la posizione della linea nodale.

Fra le modifiche che influenzano
prevalentemente la frequenza citiamo:

* variazione dello spessore medio della tavola nel senso che una riduzione di spessore abbassa la frequenza ed un aumento la innalza, (vedi righe 1-2 - 3 e 21÷26).   L’entità della variazione, a parità di posizione della linea di minimo spessore,  è compresa fra 1,5÷4 Hz per 1/10 di mm a seconda se si tiene fisso lo spessore nel punto P3 oppure si tiene fisso lo spessore sulla linea di minimo spessore.  Valori intermedi si ottengono agendo contemporaneamente in P3 e sulla linea di minimo spessore.
* modo di degradare dello spessore fra il punto di massimo spessore sino alla linea di minimo spessore (vedi righe 1-14-15) nel senso che con gradiente alto verso il centro della tavola la frequenza si abbassa e viceversa con gradiente alto verso il bordo della tavola.
* posizione della linea di minimo spessore (vedi righe 1-4-5) nel senso che una linea di minimo spessore vicina al bordo della tavola porta  frequenze più elevate e viceversa se la linea si discosta dal bordo.
* variazioni delle dimensioni della tavola (vedi righe 1-18) da cui emerge che la tavola più corta di 6   mm, più stretta di  12-15  mm e con la medesima distribuzione degli spessori della
tavola più grande, ha una frequenza più elevata  di  12 Hz. Il modello ci permette inoltre di valutare che per compensare tale fatto, tenendo fisso lo spessore sulla linea di minimo spessore, è necessario ridurre lo spessore medio di  0,3÷0,4 mm  oppure, se tale riduzione non è compatibile con la resistenza della tavola, limitare la riduzione dello spessore per esempio a 0,2  mm assieme ad uno spostamento verso il centro della linea di minimo spessore di  circa 20 mm. oppure aumentare il gradiente degli spessori verso il centro della tavola.

Fra le modifiche che influenzano principalmente
la posizione della linea nodale  citiamo:

* la posizione del punto di massimo spessore  (righe1-12-13) lungo l’asse longitudinale della tavola. Da notare che gli spostamenti sono discordi nel senso che se il punto di massimo spessore si sposta verso la parte più larga della tavola la linea nodale si sposta verso la parte più stretta e viceversa.
Quindi per posizionare la linea nodale in corrispondenza del ponticello o dell’anima intervenire su questo parametro è il sistema più conveniente.
*la differente posizione della linea di minimo spessore fra la parte larga e quella stretta della tavola   (righe 1-16)
*il diverso gradiente degli spessori fra parte stretta e larga della tavola (righe 1-17)
Per tutti e tre i casi vale comunque il principio generale che la linea nodale si sposta verso la parte da cui si toglie massa.

Per la tavola superiore - in abete - valgono considerazioni analoghe a livello di principio ma leggermente diverse per i valori numerici delle correzioni a causa del diverso peso specifico e modulo elastico ed anche perché è necessario tenere in considerazione il taglio delle “effe” e la presenza della catena che influenzano la frequenza ma  permettono un ulteriore modo di procedere per “aggiustare“ il rapporto fra le frequenze delle figure di risonanza F1-F2-F5..

Dato per scontato che per motivi di estetica e tradizioni le “effe” debbano avere una determinata forma e posizione, per “aggiustare” il valore della frequenza – oltre agli interventi sopra citati per la tavola del fondo in acero – si può intervenire sulla massa della catena come rilevabile dalla tabella seguente (Tab. N° 3) frutto di alcune esperienze:

Tab. N° 3

Intervento

Variazione di “fo”

Taglio delle “effe”

-  10%

Applicazione catena con h1 = 20   h2 = 18  mm   *

+   9%

Riduzione dimensione catena con h1=20 - h2=10 mm

+  7%

  “                  “                  “  con h1=17 - h2=8   mm

+  6%

  “                  “                  “  con h1=15 - h2=2  mm

+ 3%

  “                  “                  “  con h1=13 - h2=2  mm

+ 1%

  “                  “                  “  con h1=11 - h2=2  mm

0

  “                  “                  “  con h1=8 - h2=2   mm

-  2%

Dove con  “fo” si indica la frequenza corrispondente alla figura di risonanza F1 (che in genere si aggira fra 80÷90 Hz) di un piano armonico con spessori standard senza il taglio delle “effe” e senza catena.

*  Per il significato dei simboli e per le misure mancanti della catena vedi la Fig. 9 a pag.
seguente.

Fig. 9
 
Dai dati in tabella si deduce che con la catena opportunamente dimensionata è possibile riportare la frequenza corrispondente alla figura di risonanza F1 del piano armonico al valore che aveva prima del taglio delle “effe” e ciò senza dovere ritoccare gli spessori.

Quanto detto - relativamente all’influenza degli spessori per la tavola superiore in abete - è valido quando gli spessori hanno un andamento simile a quello della tavola di fondo in acero e presa in considerazione per lo studio (vedi Tav. II ÷VI). Nel caso che il piano armonico superiore venga scolpito invece con andamento degli spessori (fra il valore massimo e minimo) molto diverso  così come adottato o consigliato da alcuni liutai e/o studiosi, possono aversi risultati opposti come rilevabile dai grafici seguenti (n° 1÷5) che sono anche un altro esempio di cosa è possibile fare con l’aiuto del modello matematico realizzato.

L’andamento degli spessori a cui ho fatto riferimento è illustrato dalla  Fig. 9a a lato che evidenzia una ampia zona centrale a spessore costante. Da tale  zona lo spessore degrada poi con regolarità sino alla linea di minimo spessore che può essere collocata sul fianco od in corrispondenza del bordo.
Casella di testo:

Come visibile dal grafico n° 1 la frequenza corrispondente alla figura di risonanza F1 è molto sensibile al valore dello spessore della zona ZZ ma pochissimo sensibile al valore dello spessore S2 e come anticipato,  in maniera tale che ad una riduzione dello spessore S2 si ha un aumento della frequenza. Tale fatto si esalta con lo spostamento della line di minimo spessore sino al bordo della tavola come rilevabile osservando il grafico n° 2  a Pag. seguente. 

Riducendo la dimensione della zona ZZ a spessore costante, ci si avvicina allo andamento usato per il fondo e l’influenza delle variazioni sullo spessore S2 ritorna “normale” nel senso che  una riduzione di spessore comporta anche una riduzione della frequenza. Vedi grafico n°  3 a Pag. seguente.

Ritengo molto interessante quanto sopra segnalato e che i grafici n° 4 e 5 seguenti illustrano più dettagliatamente. Da essi appare evidente che esiste una certa dimensione, della zona ZZ a spessore costante, in corrispondenza  della quale la frequenza che compete alla figura di risonanza F1 non è influenzata dalla variazione dello spessore S2.

Casella di testo:
Casella di testo:

L’entità della superficie ZZ a cui ciò avviene è funzione anche del valore dello spessore dato alla stessa , infatti con SS = 3,5 mm (vedi grafico n° 4) il punto d’insensibilità si ha intorno al 28% corrispondente ad una striscia larga quanto il ponticello e lunga 10 cm.
   Con SS = 3,2 mm il punto d’insensibilità si ha intorno al 48÷50% corrispondente ad una striscia larga 5 cm  e lunga 12÷13 cm.
   Si comprende facilmente che impostando in tale modo gli spessori si ha un grosso vantaggio in quanto si può intervenire sullo spessore S2 della linea di minimo spessore ( per aggiustare le frequenze corrispondenti alle figure di risonanza F2 ed F5 ) senza che la frequenza corrispondente alla F1 abbia  a subire variazioni, ciò permette di ottenere i voluti rapporti fra tali frequenze come indicato nel capitolo successivo.

  I valori numerici ricavati ed illustrati si riferiscono ad un certo tipo di legno (modulo elastico e peso specifico), ad una data forma e bombatura e quindi possono variare sensibilmente qualora si modifichino tali parametri.

 

Valutazione frequenze f2 ed f5  della seconda e quinta  figura
di risonanza  F2 ed  F5.
Conclusioni

Anche per le figure di risonanza F2 ed F5 sono stati elaborati due modelli matematici che non ritengo il caso di riportare sia per non appesantire eccessivamente tale nota e sia perché devono trovare ulteriore conferma sperimentale per affinarne la rispondenza alla realtà.
E’ mio intendimento illustrare in un secondo momento questi modelli con una seconda nota; comunque posso anticipare che l’insieme dei tre modelli permette di guidare con  una certa sicurezza il liutaio nel trovare gli spessori da impiegare per raggiungere dei prestabiliti rapporti fra le frequenze di risonanza (f1-f2 -f5) a cui si presentano le tre figure F1-F2 - F5 dei piani armonici. (Pag. 3 e 4).
Come evidenziato dall’Autrice del citato articolo apparso su Le Scienze del 12/1981, per ottenere violini di buona qualità è necessario che sussistano rapporti ben definiti fra le citate frequenze e quindi ritengo utile riportare i valori di tali rapporti ricavati sulla base delle numerose esperienze effettuate dalla stessa Autrice.

In sostanza le migliori condizioni si hanno quando f5-f2 ed f1 coincidono (entro una tolleranza del ±1,4%) per i due piani armonici superiore ed inferiore e si trovano in un rapporto pari a 2 fra di loro; ovvero f5/f2 = 2   f2/f1=2.
Ciò significa per una frequenza f5 pari a 350 Hz avere:
                                     f5 = 350 Hz,  f2 = 172÷178 Hz ed  f1 = 86÷89 Hz.
Questi valori sono ottenibili per il piano superiore in abete (per la presenza delle “effe” e della catena che aggiungono ulteriori gradi di libertà al sistema) mentre per il piano inferiore in acero (come indicato a Pag. 9 )  non sono ottenibili tutti contemporaneamente - o lo sono con gran difficoltà -  proprio per le diverse caratteristiche del legno e per  la mancanza delle “effe” e della catena. 

Una osservazione viene spontanea osservando le ristrette tolleranze sulle frequenze, l’ottima qualità di un violino si  “giocherebbe” tutta su 1 o max. 2 decimi di mm di legno in più od in meno e solo su un determinato posto dei piani armonici!  Può essere vero?
Se così fosse un grande merito va riconosciuto a chi, senza particolari strumenti o conoscenze scientifiche, è riuscito a “mettere a punto” - 3 secoli addietro - la costruzione di uno strumento musicale così semplice nella sua struttura ma altamente complesso nei fenomeni fisici che ne determinano il funzionamento.

Approfondendo i calcoli ci si accorge, con crescente meraviglia, quanto le intuizioni degli antichi liutai trovino corrispondenza con le conclusioni scientifiche e con le esperienze eseguite impiegando anche le moderne apparecchiature.

In merito al presente articolo, in sintesi, posso concludere dicendo che il modello matematico impostato può ritenersi valido avendolo verificato su diverse tavole partendo da legno con ben definito modulo elastico e peso specifico. Con esse si è riscontrata una corrispondenza fra i dati teorici e sperimentali entro ± 4%, valore che ritengo più che soddisfacente in considerazione, non tanto delle approssimazioni teoriche, ma soprattutto per  gli errori di valutazione e di riproducibilità insiti nella sperimentazione e nella realizzazione dei piani.

Tale incertezza sui valori numerici ottenibili tramite il modello matematico e causata dalla non corretta conoscenza dei parametri di partenza, non inficia il modello in discussione la cui “vera forza “ sta nella possibilità di confrontare e prevedere i risultati delle diverse combinazioni possibili cambiando forma, spessori e legno  di partenza e  che possono presentarsi in fase di approntamento delle tavole in acero ed abete.
 Esso può così dare risposta a buona parte degli interrogativi che si pone un liutaio in fase di costruzione di un violino, permettendo a costui di intervenire con cognizione di causa potendo conoscere in anticipo il risultato di una operazione ed avendo indicazione di come modificare la forma di una tavola e di dove e quanto materiale asportare dalla stessa al fine di ottenere la frequenza di risonanza desiderata.

Per terminare, inoltre, mi permetto una osservazione che potrà non piacere a qualcuno ma inconfutabile.

In considerazione che le frequenze di risonanza sono funzione delle caratteristiche del legno, degli spessori puntiformi e della bombatura del piano armonico, appare evidente che raggiungere gli spessori e la forma voluti manualmente o con una macchina utensile risulta pressoché indifferente.  L’unico vantaggio, procedendo manualmente,  consiste nel fatto che in tal caso è più facile seguire l’andamento dell’operazione di finitura ed individuare quindi le eventuali correzioni da apportare per ottenere la frequenza voluta.

Curriculum

Vincenzo De Angelis      -     Nato a  Perugia il 28 Maggio 1939
 - Residente in Terni Via D. Giannelli 51  - Telefono 0744-406581
 - Laureato in Ingegneria Meccanica, specializzazione Termotecnica, presso il Politecnico di
   Torino nel 1970 con votazione 99/110.
 - Prima dell’Università ha lavorato presso la S.p.a Alfa Romeo  Milano, come Assistente
   Tecnico.

1970 è pervenuto al Centro Ricerche della Polymer S.p.a Terni con mansioni di Tecnico del
         Laboratorio Fisico  lavorando principalmente sui processi per la produzione di nuove
         fibre (spunbonded, melt blown, fibre cave etc.)
1973 Montefibre, Laboratorio Sperimentale Tessile di Terni, Responsabile Tecnologico per i
        prodotti tessuti e non tessuti. L’attività  riguardava principalmente lo studio di nuove
        applicazioni per la fibra  Polipropilenica (cuoio sintetico, coverstock,  geotessili, strutture
        composite etc.)
1978 Merak, Terni, medesima posizione del punto precedente
1982 ha ottenuto la nomina di “Montedison Scientist”
1983 Himont, Terni, Tecnologo nell’impianto di produzione della fibra in fiocco. L’attività
         principale era volta allo studio e realizzazione delle modifiche da fare sull’impianto allo
         scopo di  aumentarne la capacità produttiva  e di migliorare la qualità della fibra
1986 Moplefan, Terni, medesima posizione del punto precedente ma con particolare riguardo
         ai progetti per il revamping e l’ampliamento dell’impianto avvenuto anche con
         l’installazione di una nuova linea di produzione. Durante gli ultimi anni di questo periodo
        ha seguito in prima persona il trasferimento del know-how per la produzione della fibra
        alla Kolon Merak company - Corea. Ha progettato ed ha effettuato la supervisione
        dell’avviamento di una nuova linea  per la medesima Società.
1997-1999 Meraklon, Terni, R&D come  Technology manager. Ha progettato ed ha effettuato
       la supervisione alla costruzione di un nuovo stabilimento con le relative linee per la
       produzione di fibra da impiegarsi nel settore igienico/sanitario.

Ha pubblicato 7 articoli e 2 brevetti; da sottolineare gli studi approfonditi sulla filatura delle fibre di Polipropilene ed in particolare quelle per il  thermalbonding.
Ha contribuito alla  numerosa letteratura tecnica volta alla promozione della fibra Meraklon

Da “Scientists Montedison”  1986

 
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